четырех, можно и не иметь представления о четырехугольнике; но чтобы иметь представление о четырехугольнике, уже надо понимать, что такое число «четыре», и надо уметь считать по крайней мере до четырех. Это значит, что число «четыре» есть нечто более первоначальное (в логическом смысле), более внутреннее, то, что лежит в глубине идеи четырехугольника. Четырехугольник внешними средствами выявляет арифметическую сущность числа «четыре», и выявляет ее инобытий–ными, континуально– геометрическими средствами. Это дает нам право называть экстенсивное число не сущностью числа (как интенсивное число), а его явлением.
Сущность и явление, опять–таки по железной необходимости диалектического процесса, должны неминуемо объединиться вместе, слиться в нечто третье, с точки зрения чего они — только абстракция. В диалектике сущность и явление синтезируются в действительность. Ибо то и другое—только абстрактно выделенные моменты из того, что реально существует. Нет ни сущности без явления, ни явления без сущности. Сущность должна как–то являться, а явление должно быть проявлением сущности. Избежать кантовского дуализма «вещи в себе» и «явления» можно только путем диалектики, которая умеет синтезировать обе эти абстрактные сферы в некую реальную, конкретно данную действительность. Эйдетическое число и есть действительность числа.
Этим, однако, все еще не заканчивается общая сфера числа. Существует еще одна модификация числа, которая еще ближе к конкретному бытию, ближе всего, что нами сейчас переименовано. И диалектическое место ее рисуется с неумолимой требовательностью. Именно, три основных сферы числа, число интенсивное, экстенсивное и эйдетическое, суть выявление перво–принципа числа, явленная идея чистого числа. Но уже помимо того что вся эта триединая область противостоит перво–началу, остается вместе с ним на степени некоего дуализма, помимо этого идея все же остается идеей, и она продолжает противостоять фактам так же, как перво–принцип противостоит ей самой. Это, разумеется, не значит, что математика есть часть естествознания. Такое утверждение было бы полным непониманием конкретной сущности математики. Вместо такого искажения мы должны в самой математике подыскать такую сферу, которая бы вместила в себя факты, оставаясь, однако, самой собой, т. е. чистым учением о чистом числе. И такая область действительно существует. Для ее дедукции важны два обстоятельства — синтетичность в отношении перво–принципа и противостоящей ему триединой числовой сферы (интенсивность, экстенсивность и эйдетичность) и вмещение—числовое же, конечно, — текучей и случайной стихии действительности.
Первое обстоятельство, по крайней мере как задание, элементарно ясно для всякой самой примитивной точки зрения в диалектике. Интенсивно–экстенсивно–эйдетическое число есть число так или иначе положенное—в сравнении с сверхполагаемым перво–началом; оно есть раздельность, и в этом смысле оно есть инобытие первоначала. В чем же их синтез? Какую форму примет гут «становление» и «ставшее» — категории, всегда, во всяком диалектическом построении являющиеся синтезом бытия и небытия? Перво–принцип есть вечное творчество, вечное возникновение, поток для всего возникающего; это базированное^ на самом себе и независимость ни от чего, т. е. полная свобода. С другой стороны, раздельность, царящая в триединой области числового бытия, есть всегдашняя связанность, взаимообусловленность, координирован–ность. Синтезом того и другого должно явиться нечто такое, что тоже дано в связанном и законченном виде, но так, чтобы это не мешало полной свободе протекания данного явления, чтобы ему была свойственна самопроизвольность и в этом смысле как бы случайность появления и протекания. Разумеется, если взять реальную человеческую действительность, и даже не человеческую, а просто общеживотную, то ведь тут решительно все факты и события именно таковы. Всякий животный индивидуум действует сам за себя и совершенно свободно, в то время как тут же мы видим полную связанность его с общей животной или социальной жизнью. Однако мы не можем считать ни биологию, ни социологию частью математики без уничтожения настоящей физиономии всех этих наук, и биологии с социологией, и самой математики. Мы должны, оставаясь на почве чистого же числа, дать такую его модификацию, которая бы совместила смысловую раздельность явления с произволом и самостоятельностью его возникновения и протекания. Это мы и имеем в т. н. теории вероятностей, где как раз теоретическая оформленность числа такова, что она учитывает и всю случайность протекания процессов действительности.
Второе обстоятельство, важное для выяснения формулируемой математической области, — это то, что не только сверху мы находим диалектический синтез перво–прин–ципа числа и его принципа, но и снизу данная область есть именно та, которая создана для учета самопроизвольно протекающих процессов действительности. Мы видели, что интенсивно–экстенсивно–эйдетическое число тоже осуществляется в действительности. Арифметика, алгебра, геометрия, анализ и теория множеств суть науки, не просто витающие где–то в пустотах рассудочного воображения, но они обязательно так или иначе, в том или другом виде воплощаются в действительности, как–то обусловливают ее, вносят в нее раздельность и осмысленность, т. е. делают ее ею же самой. Но в чем же разница? Что заставляет нас отделять от всех этих наук еще особую науку и ставить ее в какие–то совершенно специфические отношения к действительности?
Вопрос начнет разрешаться, как только мы вспомним, что единственная сфера бытия, где числовые конструкции триединой идеальной сферы находят для себя полное, адекватное и совершенно буквальное осуществление, это есть сфера природного бытия, природы. Ведь только там, где материя молчит, где она есть только абсолютный послушный выполнитель велений чистого числа, только там интенсивно– экстенсивно–эйдетическая сфера проявит себя целиком. Действительно, только математическое естествознание может напоминать нам действительность и общезначимость чистой математики; и только тут, где дана молчащая, неживая природа, где она механически и беспрекословно подчинена числу, где она механизм, только тут место той действительности, о которой говорит идеальная триединая сфера. Но ведь сейчас мы хотим трактовать нашу действительность не просто как механизм и материю нашу не просто как безгласную и пустую схему. Материя для нас есть нечто живое, саморазвивающееся, и настоящая действительность не пустой и равнодушный к себе и ко всему другому механизм. Потому–то мы и говорим тут об особой синтезированности с пер–во–принципом, т. е. об особой, а именно максимальной, его явленности, что тут мыслится живое движение, саморазвивающаяся жизнь (как это и дано первичнейшим и чистейшим способом в самом перво–принципе). Но тогда, очевидно, вся триединая идеальная числовая область является для такой действительности слишком отвлеченной. Она, конечно, тоже ее обусловливает, ибо вся математика базируется на арифметике, арифметика — на простом счете, а не умеет считать только тот, у кого еще или уже не действует разум. Все это, конечно, осуществлено не только в природе, но и в жизни, и в истории. Однако это все еще слишком отвлеченная структура для настоящей действительности. Настоящая действительность вмещает в себе самопроизвольность своего протекания, и потому ей всегда свойственна стихия случайности. Случайность же, данная в смысловой сфере, есть как раз вероятность. И потому теория вероятностей и статистика есть то в математике, что максимально близко отражает на себе действительность, и притом действительность не природы только, но и жизни, животной и социальной. Это уже будет не просто действительность числа, но история числа, понимая под этим как животное развитие и всю органическую жизнь, так и человеческую, социальную. Биометрика и пр. виды статистики имеют достаточно прочное место среди всех наук вообще.
Заметим, что возможна статистика и в применении к механическому миру. В особенности в современной науке приходится констатировать склонность к применению статистических методов в областях, где раньше безраздельно царили только одни механические законы. Это, однако, свидетельствует не о принципиальной тождественности тех или других методов, но о том, что и т. н. механическая действительность не всегда так уж механистична или что она отнюдь не всегда даег себя механизировать. Некоторые весьма важные добавления к проблеме вероятности мы укажем ниже, в § 49.
Итак, вот общее разделение всего нашего исследования:
A. Перво–принцип числа — общая теория числа.
B. Число в своем идеальном завершении.
I. Сущность числа, или интенсивное число (арифметика, алгебра, анализ).
II. Явление числа, экстенсивное число (теория континуума и геометрия).
III. Действительность числа, эйдетическое число (теория множеств).
C. Реальное число, или число историческое (теория вероятностей и статистика).
Заметим, что эта диалектическая триада — сущность, явление, действительность — проводима
