необходимо, чтобы она была границей, отделяющей целое число от дробного, границей, оформляющей целое в его полном отличии от частей. Что это значит? Это значит то, что от целого никаким конечным процессом нельзя дойти до частей. Тут имеется в виду, конечно, не просто арифметическая невозможность, потому что арифметически взял да и разделил целую единицу на какие угодно части, никаких трудностей здесь не встречается. Тут имеется в виду невозможность свести самое понятие целого на отдельные части, невозможность по самому смыслу сводить целое на отдельные части. При наличии этой невозможности, что бы мы ни проделывали с целым, мы никогда не получим дробного и частей, потому что эти категории различны между собою чисто качественно. Целое по самому качеству своему есть нечто иное, чем часть, а не только просто по количеству. Так вот, диалектическое место бесконечности и требует того, чтобы между целым и отдельной частью залегал бесконечный процесс приближения целого к этой части, ибо[157] только в бесконечности можно количественно перейти от целого к отдельным частям. В этом смысле и необходимо утверждать, что бесконечность есть граница между целым и дробным.

b) Не нужно смущаться, что это очень большая граница. Прежде всего, она настолько же большая, насколько и малая, потому что бесконечность может быть и бесконечно большим числом, и бесконечно малым числом. И целое отстоит от своих частей, во–первых, на бесконечно далеком расстоянии, а во– вторых, на бесконечно малом; можно и без конца трудиться над переходом от части к целому — и никогда не дойти до этого целого; и можно в одно мгновение перейти от целого к части или от части к целому, невзирая ни на какие различия между тем и другим. Кроме же того, если бы расстояние между целым и дробным было только бесконечно большим (а еще в то же время и не бесконечно малым), то и в этом случае бесконечность с полным правом можно было бы назвать границей целого и дробного, ибо бесконечность действительно есть та область, которая является пограничной между целым и частями, между целым и дробным.

с) Нуль — граница между положительным и отрицательным; бесконечность — граница между целым и частями. Но если бесконечность есть, как мы видели, вообще развернутый нуль, то и в смысле границы бесконечность есть развернутый нуль. Бесконечность есть развернутая граница, в которой совпадало утверждение и отрицание; потому она — целая область, в которой совпадает утверждение и отрицание. Мы уже знаем, о каком утверждении и о каком отрицании может идти речь в применении к категории бесконечности.

3. а) Если число понимать чисто счетно и количественно, то, очевидно, бесконечность не есть число; и самое соединение слов «бесконечное число» бессмысленно. Дело в том, что бесконечность по самому качеству своему есть нечто иное, чем какое–нибудь количественное число. Всякое число конечно, и самое большое, и самое малое. Бесконечность с этой точки зрения совсем не есть число. Всякое число есть строго координированная раздельность и различенность. Бесконечность неразличима внутри себя самой и, значит, совсем не есть число. Конечные числа изменяются при операциях сложения и вычитания и пр. Бесконечность или совсем не реагирует на эти действия, или реагирует совершенно оригинально, так что обычные арифметические правила оказываются неприменимыми к бесконечности. Об этих действиях с бесконечными числами стоит говорить специально, но сейчас достаточно привести хотя бы один простейший пример, обнаруживающий полную смысловую оригинальность этого понятия.

Уже из элементарных рассуждений о бесконечности хорошо известно, что

<?+A> = <?–A> = <?>.

Этот невинный пример доставляет очень много хлопот для логического анализа; и тут нужно двинуть аппарат, не меньший, чем тот, который использован нами выше. Пример этот показывает, что, сколько мы ни будем прибавлять к бесконечности конечных чисел и сколько ни будем их отнимать от нее, она все равно остается без перемен. Это говорит об очень многом. Прежде всего, данный пример прекрасно иллюстрирует наше основное учение о том, что в бесконечности часть и целое равны между собою. Действительно, та бесконечность, которая является одним из слагаемых, есть, по самому смыслу операции сложения, часть той бесконечности, которая в этом примере оказывается суммой. Ведь сумма больше каждого из своих слагаемых. Стало быть, бесконечность и больше самой себя, и меньше самой себя. Эту диалектику волей–неволей обязан признать каждый самый заклятый враг диалектики, потому что тут в конце концов даже не диалектика, а только математика и даже только арифметика. Но в то время как математик при этом только пожимает плечами и совершенно бессилен объяснить происхождение этого нарушения законов «формальной логики[158]» в операциях с бесконечностью, диалектик способен не только глубоко обосновать это нарушение, но и доказать невозможность никакой иной точки зрения.

с) В предыдущем примере необходимо также иметь в виду, что тут бесконечность есть не просто часть себя самой или целое в отношении себя самого, но еще и всякая часть оказывается в бесконечности равной целому. Именно, если от прибавления к бесконечности какого–нибудь конечного числа А сама бесконечность не меняется, то А, стало быть, есть или нуль, или то, что, окунувшись в бесконечность, расплывается в ней и вполне с ней отождествляется. Нулем А не может быть, если оно действительно А, но расплываться в бесконечности оно, несомненно, может. Для этого надо только мыслить бесконечность как алогическую стихию, в которой меркнет всякое различие. Таким образом, уже тот простой пример показывает, что бесконечность вовсе не мыслится в математике как беспредельное прибавление одной единицы к другой, но что она, даже в простейших и элементарных арифметических выкладках, трактуется как алогическое становление цельности, самотождественной во всех своих мельчайших моментах.

d) Поучителен также и другой пример, заимствованный опять–таки из элементарной арифметики:

<=?•?—? •? = ??>.

В чем идея таких операций, «понятных» как будто бы и без всяких разъяснений, но тем не менее загадочных, несмотря на свою общеупотребительность? Стоит только поглубже вдуматься в эти математические суждения, чтобы уловить все своеобразие понятия бесконечности, ничего не имеющее общего с обычным представлением о ней как о беспредельном переходе в неизвестную даль. С первого взгляда приведенные формулы ничего особенного в себе не содержат, хотя математикам приходится буквально притворяться, что туг все благополучно с точки зрения «формальной логики». Все эти равенства предполагают, что бесконечность есть и часть себя самой, и целое в отношении себя самой. Так, в первом равенстве частное, результат деления, оказывается равным делимому, так что уже и младенцу должно быть понятно, что в бесконечности часть вполне равна целому. То же и в других формулах. Только не надо забывать, что везде в этих равенствах не только бесконечность является частью и целым в отношении себя самой (как это само собой видно и без всякой диалектики), но А, т. е. каждая отдельная часть, [тоже] является и частью, и всем целым (целым — поскольку растворяется в бесконечности и отождествляется с нею).

4. а) Однако можно и в этих равенствах все еще ухитряться выскользнуть из рамок диалектики и понимать бесконечность просто как пустое нагромождение безграничного количества единиц. Эти ухищрения уже совсем невозможны в отношении следующих равенств, и в особенности первого из них:

I^? = A

A^? = ?

?^? = ?[159]

b) Первое из этих равенств, где А является любым конечным числом, есть пример на т. н. неопределенные формы, потому что об [А ] неизвестно, что это за число (оно может быть любым). Спрашивается: если бесконечность есть непрестанное нагромождение чисел одного над другим, то почему возможно первое равенство? По самому смыслу возведения в степень мы имеем, например,

2⁴ = 2·2·2·2.

Следовательно, и единица в бесконечной степени должна была бы равняться

1 1·1·1·1…

причем этих единиц должно было бы быть бесконечное количество. Другими словами, тогда было бы правильно, что

1°° = 1.

Но из математики мы знаем, что единица в бесконечной степени равняется не единице, а любому