Jn (x ).
Ц. ф. порядка n = m + 1 /2 , где m — целое число, сводится к элементарным функциям, например:
, 
Функции J n (x ) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя (Бесселя функции , Бесселя уравнение ). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли , посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка 1 /3 в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу (1703).
Если n не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид
y = C1 J n (x ) + C2 J- n (x ), (2)
где C1 и C2 — постоянные. Если же n — целое, то J n (x ) и J- n (x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):
При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде
у = C1 Jn (x) + C2 Y n (x )
(как при целом, так и при нецелом n).
В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента 
и
(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению
общее решение которого имеет вид
y = C1 l n (x ) + C2 K n (x )
(как при целом, так и нецелом n). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)
,
а также функции Томсона ber (х ) и bei (x ), определяемые соотношением
