Длительность исполнения. Одному исполнителю на 5 недель или двум на 3 недели.

Развитие темы. Как только у нас появляется арифметика высокой точности, сразу же возникает много интересных задач. Одна из них — точное вычисление числа e. Ряд для e особенно прост:

где 0! = 1. Любой студент, изучающий математический анализ, может придумать еще очень много рядов и констант.

* Партия переводчика. Можно существенно сократить как время работы программ, так и время их написания, если, не послушавшись автора, создать набор специализированных программ для вычисления ?. Анализируя ряд для ?, мы видим, что его вычисление требует всего двух программ высокой точности. Это программа сложения-вычитания длинных чисел (сложение и вычитание настолько похожи, что их можко рассматривать как одно действие) и программа деления длинного числа на короткое, т. е. на представимое в виде обычного целого числа. Эти действия, выполняемые классическими ручными методами, занимают лишь линейное по n время.

Кроме того, имеет смысл хранить длинные числа не в двоичной системе счисления, а в десятичной (конечно, не по одной цифре в элементе массива, а по столько цифр, сколько помещается в обычном целом числе). При этом отпадает необходимость в программе перевода. Теперь арифметические программы могут работать несколько медленнее (но вовсе не обязательно; далеко не все компиляторы используют команды сдвига для умножения и деления на степени двойки), тем не менее в целом можно получить выигрыш в скорости, поскольку время работы алгоритма перевода длинных чисел из двоичной системы в десятичную (описанного у Кнута) пропорционально n?, т. е. того же порядка, что и время всех остальных вычислений.

С помощью лишь этих программ сложения и деления можно вычислить многие математические константы: ?, e, v2, ?2, ln 2 и т. д. Реализация такого усеченного варианта потребует, вероятно, не более одной человеко-недели. Сложные динамические структуры данных уже не потребуются; у нас будет всего два-три длинных числа известного размера, для представления которых вполне подойдут массивы Фортрана.

Ахо, Хопкрофт, Ульман (Aha А. V., Haperoft J. E., Ullman J. D.). The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley, Reading, MA, 1974. Section 8.2, pp. 279–286. [Имеется перевод: Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. — М.: Мир, 1979, § 8.2, с. 313–320.]

Мы почерпнули алгоритм умножения у Кнута, а алгоритм деления — у Ахо, Хопкрофта и Ульмана; оба алгоритма переработаны для наших целей Эти книги содержат подробную информацию по основам и детальный анализ алгоритмов, включая оценки сложности. Описываются также альтернативные алгоритмы умножения, основанные на быстром преобразовании Фурье[35].

Брент (Brent R. P.). A FORTRAN Multiple-Precision Arithmetic Package, Department of Computer Science, Carnegie-Mellon University, May 1976.

Брент описывает пакет подпрограмм для арифметических действий с высокой точностью, написанных на переносимом, машинно-независимом Фортране. Благодаря включенной в книгу библиографии, вы сможете найти другие работы в этой области. В пакете, предложенном Брентом, не используется алгоритм Тоома—Кука, и автор объясняет почему.

Брент (Brent R. P.). Fast Multiple-precision Evaluation of Elementary Functions, Stanford University, Technical Report STAN-CS-75-515, August 1975.

Томас (Thomas G. В., Jr.). Calculus and Analytic Geometry, 3rd ed. Addison-Wesley, Reading, MA, 1960. Section 16.3—3, pp. 809–812.

Томас приводит сведения по математическому анализу, необходимые для рассмотренных нами вычислений и подобных им; изложение в его книге простое и классическое. Рейтуиснер, а также Шенкс и Ренч — два примера из ряда работ по вычислению ?. В обеих работах дается некоторый исторический обзор, обе они используют подход, предлагаемый Томасом. Брент развивает совершенно новые методы вычисления функций sin, cos, log, arctg и т. д., основанные на эллиптических интегралах. Его алгоритмы работают значительно быстрее описанных нами рядов. Работа Брента пока существует в виде технического доклада.

Кнут (Knuth D. E.). The Art of Computer Programming/Seminumerical Algorithms, Addison-Wesley, Reading, MA, 1969. Section 4.3.3, pp. 258–280. [Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Получисленные алгоритмы. — М.: Мир, 1977, п. 4.3.3., стр. 314–340[36] .]

Рейтуиснер (Reitwiesner G. W.). An ENIAC Determination of ? and e to More than 2000 Decimal Places, Mathematical Tables and Aids to Computation, 4, pp. 11–15, 1950.

Шенкс, Ренч (Shanks D., Wrench J. W.). Calculation of ? to 100 000 Decimals, Mathematics of Computation, 16, pp. 76–99, 1962.

* Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — М.: Высшая школа, 1973.

В игре, как и в музыкальном произведении, можно выделить тему и мотивы. Причина успеха самых удачных игр часто состоит в том, что они мастерски соединяют по-новому некоторые из давно известных принципов построения игр. Как и в музыке, старая идея, возрожденная в новом обличье, может выглядеть привлекательней, чем мешанина свежеиспеченных новых веяний. В середине 70-х годов широкую популярность в Англии получила игра великий комбинатор (Mastermind)[37], и она, похоже, станет классикой. Вы и ваш компьютер получите большое удовольствие, сыграв в нее.

Правила великого комбинатора крайне просты. Один из игроков, загадывающий, записывает секретную комбинацию из любых четырех цифр от 1 до 6 (повторения допускаются), называемую кодом. Второй игрок, отгадывающий, пытается раскрыть код, высказывая разумные предположения, называемые пробами. Каждая проба, как и код, представляет собой произвольную комбинацию из четырех цифр в диапазоне от 1 до 6. Отгадывающий игрок сообщает пробу загадывающему, и тот должен ответить, сколько цифр в пробе совпадает с цифрами кода как по положению, так и по величине и сколько из остальных цифр пробы входят в код, но стоят на другом месте. Так, на пробу 1123 при коде 4221 будет получен ответ: «Одна цифра совпадает и стоит на том же месте, и еще одна совпадает, но стоит на другом месте». Тур игры продолжается до тех пор, пока отгадывающий не назовет пробу, в точности совпадающую с кодом, т. е. пока не отгадает код. После этого игроки меняются ролями и проводят еще один тур. Победителем считается тот из игроков, кто определит код противника за меньшее число проб. Хотя здесь не последнюю роль играет везенье, тем не менее игрок, систематически делающий правильные умозаключения из получаемой информации, должен иметь лучшие результаты по итогам нескольких партий. Практически вы должны пытаться выводить из ответов на ваши пробы отрицательные следствия относительно того, какие коды невозможны; психологические тесты показывают, что для многих людей это оказывается совсем не просто. В табл. 23.1 приведен один полный тур.