1) качественная однородность совокупности, по кото–рой исчислена средняя;

2) исключение влияния на исчисление сред–ней величины случайных, сугубо индивидуаль–ных причин и факторов;

3) при вычислении средней величины важно устано–вить цель ее расчета и так называемый определяю–щий показатель (свойство), на который она должна быть ориентирована. Связь между определяющим показателем и средней выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заме–нить их средним значением, то сумма или произве–дение в этом случае не изменят определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственно–го расчета средней величины. Способность сред–них величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свой–ством.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы, – групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера яв–ления, складывающуюся в конкретных условиях дан–ной группы.

Способы расчета могут быть разные, и в связи с этим в статистике различают несколько видов сред–ней величины, основными из которых являются сред–няя арифметическая, средняя гармоническая и сред–няя геометрическая.

В экономическом анализе использование сред–них величин является действенным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, изыскания скрытых и неис– пользуемых резервов развития экономики.

В статистике используют различные виды сред–них величин, которые делятся на два больших класса:

1) степенные средние (средняя гармоническая, сред–няя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя кубическая);

2) структурные средние (мода, медиана).

Самый распространенный вид средней – сред–няя арифметическая. Формула простой средней ариф– метической:

Средняя арифметическая взвешенная:

где xi– варианты осредняемого признака; f – частота, которая показывает, сколько раз встречается i-е значение в совокупности.

Формула простой средней гармонической:

где хi – отдельные варианты; n – число вариантов осредняемого признака. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле:

Формула средней геометрической взвешенной:

Формула средней квадратической:

Формула средней квадратической взвешенной:

Формула средней кубической:

Средняя кубическая взвешенная:

Все рассмотренные выше средние величины могут быть представлены в виде общей формулы:

где x – средняя величина;

х – индивидуальное значение; n – число единиц изучаемой совокупности; k – показатель степени, определяющий вид сред–ней.

Между величинами степенных средних существует закономерное соотношение:

Мода – величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда. Она показывает размер признака, свойственный значи–тельной части совокупности, и определяется по фор–муле:

где х₀ – нижняя граница интервала;

h – величина интервала;

fm – частота интервала;

fm-1 – частота предшествующего интервала;

fm+1 – частота следующего интервала.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц со– вокупности. При этом у одной половины единиц сово–купности значение варьирующего признака меньше ме–дианы, у другой – больше.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми облада–ет половина единиц совокупности.

При определении медианы в интервальных ва–риационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех ча–стот ряда. Расчет медианы интервального ва–риационного ряда производится по формуле:

где х₀ – нижняя граница интервала;

h – величина интервала;

fm – частота интервала;

f – число членов ряда;

?m- 1 – сумма накопленных членов ряда, предше–ствующих данному.

Наряду с медианой для более полной характери–стики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжи–рованном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на четыре равные части, а деци-ли – на десять равных частей. Квартилей насчитыва–ется три, а децилей – девять.

Медиана и мода в отличие от средней арифмети–ческой не погашают индивидуальных различий в зна– чениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристика–ми статистической совокупности. На практике они ча–сто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содер–жит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака.

Вариационными называют ряды распределени построенные по количественному признаку. Значени количественных признаков у отдельных единиц сов купности непостоянны, более или менее различают между собой. Такое различие в величине признака н сит название вариации. Отдельные числовые значени признака, встречающиеся в изучаемой совокупност называют вариантами значений. Наличие вариаци у отдельных единиц совокупности обусловлено влияние большого числа факторов на формирование уровня при: нака.

Расположения всех вариантов значений признай в возрастающем или убывающем порядке. Процесс назь вают ранжированием ряда. Ранжированный ряд сра дает общее представление о значениях, которые прин мает признак в совокупности.

Для измерения вариации признака применяют различные абсолютные и относительные показател К абсолютным показателям вариации относятся средне линейное отклонение, размах вариации, дисперсия, сре нее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение представляет с бой среднюю арифметическую из абсолютных значени отклонений отдельных вариантов от их средней ариф метической:

Дисперсия ( ?² ) – средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

Среднее квадратическое отклонение ( ? ) пред–ставляет собой корень квадратный из дисперсии: