системы обозначения чисел происходит наша нумерация. Они первыми разработали условия арифметических действий, основанные на этой системе нумерации. В сочинениях V в. встречаются многочисленные задачи на простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, правило смешения, проценты.

Тройное правило (трай-рашика — букв. «три места») заключалось в нахождении числа х, составляющего с тремя данными числами — а, Ь, с — пропорцию. Его знали уже египтяне и греки, но индийцы выделили его в специальный арифметический прием и разработали схемы, позволяющие применить его к задачам, содержащим несколько величин, связанных пропорциями. Брахмагупта и позднейшие авторы добавили обратное тройное правило и правило 5, 7, 9 и 11 величин. Из Индии эти правила распространились в страны Ближнего Востока и далее в Европу. Ряд задач имел непосредственно практическое значение. Искусство математиков ценилось высоко. По словам Брахмагупты, «как Солнце затмевает своим блеском звезды, так и ученый может затмить славу других в общественном собрании, предлагая и тем более решая математические задачи».

В алгебре крупнейшим достижением индийских математиков явилось создание развитой символики, гораздо более богатой, чем у греческих ученых. В Индии впервые появились особые знаки для многих неизвестных величин, свободного члена уравнения, степеней. Символами служил первый слог или буква соответствующего санскритского слова. Неизвестную величину называли яват-тават (столько-сколько), обозначая слогом «я (йа)». Если неизвестных было несколько, то их называли словами, выражающими различные цвета: колика (черный), нилака (голубой), питака (желтый), панду (белый), лохита (красный), — и обозначали слогами — ка, ни, пи, па, ло. Иногда неизвестное заменялось знаком нуля, поскольку первоначально в таблицах пропорциональных величин для него оставлялась пустая клетка.

Тот же принцип использовали и применительно к арифметическим действиям. Сложение обозначалось знаком ю (юта — сложенный), умножение — гу (гунита — умноженный), деление — бха (бхага — деленный), вычитание — точкой над вычитаемым или знаком + справа от него (например, «отнять 3» записывалось так: 3 или 3+).

Начиная с Брахмагупты, индийские математики стали широко оперировать отрицательными величинами, трактуя положительное число как некое имущество, а отрицательное — как долг. Брахмагупта описывал все правила действия с отрицательными числами, хотя ему не была известна двузначность при извлечении квадратного корня. Впрочем, математик IX в. Махавира писал: «Квадрат положительного или отрицательного — числа положительные, их квадратные корни будут соответственно положительными и отрицательными». Это показывает, что Махавира уже ставил вопрос об извлечении корня из отрицательного числа, но пришел к выводу, что данная операция невозможна.

Задачи, приводящие к решению линейного уравнения с одним неизвестным, даны у Арьябхаты. Одна из них, получившая название «задача о курьерах», вошла в дальнейшем в мировую алгебраическую литературу. В ней требуется определить время встречи двух небесных светил, расстояние между которыми а, скорость же равна V1 и V2 соответственно. Арьябхата предлагал решение, в современной математике выражающееся формулой: t = a / V1 — V2 при движении в одну сторону. При движении навстречу расстояние необходимо разделить на сумму скоростей.

У Махавиры и других ученых встречаются задачи, приводящие к системам линейных уравнений с несколькими неизвестными. Были выработаны специальные правила решения таких систем. Разумеется, что речь шла о задачах с численными условиями, но правила формулировались в общем виде.

Задачи на квадратные уравнения зафиксированы уже в шульва-сутрах, но систематические их решения мы впервые находим у Арьябхаты. Такова, например, задача на сложные проценты, приводящая к квадратному уравнению: деньги р, отданные в рост, приносят за месяц неизвестную величину х, она отдается опять в рост на несколько месяцев t; первоначальный прирост вместе с вновь полученным составляет некую сумму q. Необходимо найти размер процента. Решение, по Арьябхате, можно выразить следующим уравнением: tx + px * ap.

Любопытно, что данная задача, как и «задача о курьерах», приводилась многими учеными не только в средние века, но и в новое время. С аналогичной задачи начинал раздел о квадратных уравнениях в своем учебнике по алгебре известный французский математик и механик А. Клеро (1746).

Значительных успехов достигли индийцы в решении неопределенных уравнений, к которым они прибегали в связи с календарно-астронимическими вычислениями, призванными определить периоды повторения одинаковых относительных положений небесных светил с различными временами обращения.

В отличие от древнегреческого математика Диофанта, предлагавшего только рациональные решения уравнений, индийцы нашли более сложный способ. Решение в целых числах неопределенного уравнения первой степени с двумя неизвестными (ax + Ь = су) приводит уже Арьябхата, более подробно оно изложено потом Брахмагуптой. Этот способ решения получил в индийской науке название «рассеивания», или «размельчения».

Вершина открытия индийских математиков в теории чисел — решение в целых положительных числах общего неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными (ax² + b = y) и его важного частного случая (ах² + 1 = y), где а — целое, не являющееся квадратом целого числа. В Европе этими проблемами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, не предполагавшие, что индийцы за много столетий до них уже владели способом решения подобных уравнений.

Из достижений индийских ученых особо следует указать на вычисление отношения длины окружности к диаметру. Значения, определенные с различной степенью приближения, приводятся уже в шульвасутрах, где принимается равным от 3 до 3,16. В «Сурья-сиддханте» даны два значения — 3,06 и 3,08, но более точное встречается у Арьябхаты, согласно которому π = 3,1416. Это выражение он описывает такими словами: «Прибавь 4 к 100, умножь на 8 и прибавь ко всему этому 62 000. То, что получишь, — приближенное значение длины окружности, если ее диаметр 20 000». У него же имеется значение З.14.

Позднее Брахмагупта приводит для π приближенное V~10,— оно хотя и менее точное, чем у Арьябхаты, но более удобное.

Некоторые из сиддхант свидетельствуют о знакомстве из авторов с тригонометрией хорд александрийских астрономов. Опираясь на труды эллинистических ученых, индийцы внесли много нового. Главным явилась замена хорд синусами. Если греки именовали хорды «прямыми в круге», то индийцы стали называть их словом «джива» (букв. «тетива»), а перпендикуляр, опущенный из середины дуги на середину стягивающей ее хорды, — «стрелой». Варахамихира в «Панчасиддхантике» заменил хорду полухордой, т. е. линией синуса. Сама по себе такая замена может показаться и не столь существенной, ибо хорда дуги равна удвоенному синусу дуги 2f, т. е. отличается от синуса лишь постоянным коэффициентом. Но в действительности этот переход от хорды к полухорде был очень важен, поскольку позволил естественно ввести различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Многие астрономические и математические идеи индийцев оказали влияние на арабскую науку VII — первой половины VIII в., хотя прямое проникновение индийских математических и астрономических знаний относится к последней трети VIII в. «В 156 г. хиджры (т. е. в 773 г. — Г. Б.-Л.) из Индии в Багдад прибыл человек, весьма осведомленный в учениях своей родины. Этот человек владел приемом Синдхинд, относящимся к движениям светил и вычислениям с помощью синусов, следующих через четверть градуса. Он знал также различные способы определения затмений и восхода созвездий Зодиака. Он составил краткое изложение соответствующего сочинения. Халиф приказал перевести индийский трактат на арабский язык, чтобы мусульмане могли приобрести точное знание звезд. Перевод был поручен Мухаммаду, сыну Ибрагима ал-Фазари, который первым из мусульман приступил к углубленному изучению астрономии. Позднее этот перевод астрономы назвали Большим Синдхиндом» — так писал в своем биографическом словаре в XIII в. Абул-Хасан ал-Кифти.

Ал-Бируни отмечает, что приезд индийского астронома Канка состоялся несколько ранее: в 771 г. он привез два сочинения индийского математика и астронома Брахмагупты. Ал-Фазари выполнил сокращенный перевод его двух сочинений и представил их в виде традиционных для мусульманской науки зиджей — таблиц с необходимыми пояснениями и рекомендациями. Перевод-обработка первого трактата был назван «Большой Синдхинд» в отличие от других обработок сиддхант Брахмагупты.